Matematica corso zero (14): equazioni irrazionali

In questa unità si ricordano i teoremi sui triangoli rettangoli che mettono in relazione i cateti con l'ipotenusa e gli angoli (non retti) del triangolo. Nel caso dei triangoli qualsiasi si ricordano il teorema dei seni ed il teorema di Carnot. Si fa vedere poi come tali risultati permettono di risolvere i triangoli, cioè determinare tutti gli elementi di un triangolo conoscendo solo 3 dei suoi elementi (di cui 1 almeno sia un lato).

In questa unità si risolvono le equazioni elementari della goniometria e si danno alcune procedure per ricondurre le equazioni goniometriche a quelle elementari. In particolare si risolvono le equazioni lineari in seno e coseno. Poi si risolvono le disequazioni elementari della goniometria e si danno alcune procedure per ricondurre le disequazioni goniometriche a quelle elementari. Infine si danno delle applicazioni per la ricerca del campo di esistenza delle funzioni reali.

In questa unità si ricordano alcune delle più note formule goniometriche, quali le formule di addizione e sottrazione, quelle di duplicazioni, quelle di bisezione, le formule cosiddette "parametriche" e si applicano in alcuni semplici casi. Inoltre, dopo aver ricordato le formule di Prostaferesi, si dà un esempio che illustra l'utilità di tali formule.

In questa unità si introduce il cerchio goniometrico, le misure degli archi, le funzioni goniometriche (seno, coseno e tangente), le relazioni fondamentali della goniometria. Si studiano gli archi notevoli (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) e la riduzione degli archi al I quadrante. Si inizia un'analisi delle equazioni goniometriche elementari.

In questa unità si danno delle tecniche di risoluzione per semplici equazioni logaritmiche, cioè equazioni in cui l'incognita appare come argomento di qualche logaritmo.

In questa unità si definisce il logaritmo di un numero reale positivo (su una base positiva diversa da 1). Quindi si illustrano le proprietà dei logaritmi e si discute della funzione esponenziale. Si propongono poi le soluzioni di semplici equazioni e disequazioni esponenziali, cioè equazioni e disequazioni in cui l'incognita appare come esponente di qualche potenza.

In questa unità si danno degli approcci per la risoluzione delle disequazioni irrazionali, cioè disequazioni in cui l'incognita appare nell'argomento di qualche radicale. Alcuni esempi illustrano tali approcci.

In questa unità si discutono sistemi di più equazioni in più indeterminate, fissando in particolare l'attenzione ai sistemi lineari di due equazioni in due incognite. La regola di Cramer per la risoluzione di tali sistemi. Caso di sistemi impossibili.

In questa unità si definisce il valore assoluto di un numero reale e si discutono tecniche risolutive per equazioni e disequazioni in cui l'incognita appare in valore assoluto. Inoltre si discutono campi di esistenza di funzioni contenenti valori assoluti.

In questa unità si affrontano i sistemi di disequazioni algebriche, soprattutto come strumento per risolvere particolari disequazioni algebriche, quali ad esempio le disequazioni di grado superiore al secondo o le disequazioni frazionarie.

In questa unità si trattano alcune manipolazioni sulle disequazioni in modo da trasformarle in forma più semplice. In particolare, si discutono più in dettaglio le disequazioni di primo e secondo grado.

In questa unità si danno le generalità e si danno esempi di equazioni algebriche (e identità). Si trattano le soluzioni delle equazioni algebriche di (primo e) secondo grado. Uso del discriminante. La somma ed il prodotto delle radici in termini dei coefficienti dell'equazione. Cenni sulle equazioni di grado superiore al secondo.

In questa unità si trattano i polinomi in una indeterminate. In particolare si discutono la somma ed il prodotto di polinomi. Inoltre, si tratta dell'algoritmo di divisione anche con l'utilizzo della regola di Ruffini nel caso di divisore di primo grado. Si definiscono poi le radici di un polinomio e si da un cenno al caso di polinomi in più indeterminate.

In questa unità si definiscono le potenze dei numeri a partire dal caso di esponenti naturali per poi passare a quelli interi e poi quelli razionali. Si illustrano le più importanti proprietà delle potenze ed utilizzando un risultato fondamentale sui numeri reali si definiscono i radicali le cui proprietà si deducono dalle proprietà delle potenze.

In questa unità si mostra la necessità della introduzione dei numeri reali. Tra le varie maniere di definire i numeri reali si illustra la loro forma decimale (anche infinita ed aperiodica). Inoltre, si fa una piccola digressione sulle medie aritmetiche e quelle ponderate.

In questa unità si illustra l’esigenza della costruzione dei numeri razionali (le frazioni). Si illustrano le proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione in Q, evidenziando la presenza dell’inverso di ogni numero razionale diverso da zero. Si presenta poi la forma decimale (finita, o infinita ma periodica) dei numeri razionali e come si passa dalle frazioni alla propria forma decimale e viceversa.

In questa unità si motiva l'introduzione dei numeri interi (relativi). Si illustrano le proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione in Z, evidenziando la presenza dell'opposto di ogni intero. Dopo aver discusso l'ordinamento su Z, si producono alcuni semplici esercizi.

In questa unità si introduce l’insieme N dei numeri naturali e si illustrano le principali proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione che in esso si definiscono. Viene anche trattato l’ordinamento su N e la divisibilità tra numeri naturali. Si introducono i numeri primi ed il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica (fattorizzazione dei numeri naturali in fattori primi). Si definiscono inoltre il Massimo Comune Divisore ed il Minimo Comune Multiplo.

In questa unità si introduce la definizione di funzione tra due insiemi portando alcuni esempi e controesempi. In particolare si illustra il caso particolare delle funzioni tra sottoinsiemi dei numeri reali (funzioni reali di variabile reale): il campo di esistenza di tali funzioni.

In questa unità si introduce il linguaggio della Teoria degli insiemi. Tra gli argomenti trattati si trovano i sottoinsiemi degli insiemi, le operazioni tra insiemi quali intersezione, unione, differenza e prodotto cartesiano. Si discutono inoltre alcune loro proprietà, tra le quali le note leggi di De Morgan